Уравнения с параметрами в школьном курсе математики

Квадратные уравнения

- общий вид. Его решение в действительных числах состоит из следующих частей:

Если , то могут быть случаи:
1. Дискриминант , уравнение имеет два корня (отдельно не выделяем здесь случай равенства корней при

и ;

2) , уравнение корней не имеет.

2. Если , то уравнение превращается в линейное уравнение

, решение которого показано выше.

Результатом решения квадратного уравнения служит Ответ:

1) , , ;

2) и ; или , уравнение корней не имеет;

3) , и с – любое, ;

4) , , , - любое число.

Пример 1. Решить относительно х:

(1)

Решение: 1. Если а = 0, то –2х+4 = 0 х = 2;

2. Если а = 0, то D = 1– 4а; при 1– 4а < 0 ; а > х ? ?;

при 1– 4а ? 0 ? а ? .

Ответ:1) а = 0, х = 2;

2) а > 0 и а ≠ уравнение (1) имеет два решения ;

3) при а ? 0 и а ? уравнение (1) не имеет решений.

Пример 2. .

1. , т.е. и ; при любом значении а, значит уравнение имеет два действительных корня :

, , .

2. т.е. или :

1) ,, корень ;

2) , , корень .

Ответ: 1) и , , ;

2) , ;

3) , .

Пример 3: .

1. , т.е. ; .

1) т.е. , уравнение имеет два действительных корня ;

2) , т.е. при и уравнение действительных корней не имеет.

2. , т.е. получается уравнение линейное с единственным корнем .

Ответ: 1) или , ;

2) , ;

3) и , корней нет.

Пример 4. Решить уравнение

=0 (2)

Решение:

1) , т.е. , уравнение (2) примет вид . Из этого уравнения находим х = – .

2), т.е. ; , т. е. , получаем х_1,2

3) Если , уравнение не имеет корней;

4) Если , то и тогда .

Ответ: 1) если , то корней нет;

2) если а = 1, то х =;

3) если , то ;

4) если , то .

Пример 5.

Решение:

1. при любом значении а; значит уравнение имеет два действительных корня

; .

Ответ: , при любом а.

Пример 6.

Решение: 1. , т.е. и ;

при любом значении а; значит уравнение имеет два действительных корня

; .

2. , т. е. или

1) , - корень;

2) , - корень.

Ответ: 1) и , , ;

2) , ;

3) , .

При исследовании квадратичной функции мы используем теоремы, которые также помогают при решении задач с параметрами.

Т₁. Если приведённое квадратное уравнение имеет два корня и b ? 0,

c ? 0, то оба корня этого уравнения отрицательные; b ? 0, c ? 0, то оба корня этого уравнения неотрицательны.

Т₂. Необходимые и достаточные условия, чтобы корни квадратного уравнения были больше заданного числа d:

Пример 7. При каких значениях параметра а, корни уравнения неотрицательны:

(1)

Разделим уравнение (1) на а, но поставим условие а ? 0, тогда получим

(2)

По Т₁: ;

1). D = ; приводим к общему знаменателю а², получаем

; .

? 0; корень уравнения

: а = –2 и а ? 0. Получаем а ? –2, а ? 0

; корень уравнения

: а = –3

а ? 0. П

олучаем –3 ? а ? 0.

). Объединим полученные результаты:

Получаем

Ответ: при уравнение (1) имеет неотрицательные корни.

Пример 8. При каких значениях параметра а, корни уравнения больше 1:

По Т₂: .

? 0, разделим получившееся неравенство на –8, получаем

корни данного уравнения:

П

олучаем ? а ?

2) , помножим обе части данного неравенства на 2а, при этом а ? 0;

2а + 1 ? 2а ? 2а – 2а ? –1 ? 0 ? –1 ? а ? R.

3) y(1) = 2а –2;

корни уравнения 2а(а-1) ? 0: а₁ = 0; а₂ = 1. П

олучаем а ? 0, а ? 1

4). Объединим полученные результаты:

олучаем

Ответ: при корни уравнения (1) больше 1.

Пример 9: При каком наибольшем целом а оба корня уравнения заключены строго между –2 и 4:

Способ 1:

(1)

; тогда корни уравнения (1): . Они должны быть заключены строго между –2 и 4:

олучаем

Способ 2:

По Т₂:

1). D = 1? 0;

2). ;

3) y(–2) = а²+4а+3

а²+4а+3 ? 0; корни уравнения а²+4а+3 = 0: а₁ = –3, а₂ = –1; П

олучаем а ? –3, а ? –1.

y(4) = а²–8а+15

²–8а+15 ? 0; корни уравнения а²–8а+15 = 0: а₁ = 3, а₂ = 5;

Рис. 9

олучаем а ? 3, а ? 5.

4). Объединим полученные результаты:

Рис. 10

олучаем –1 ? а ? 3.

Ответ: при а =2 оба корня уравнения (1) заключены строго между –2 и 4.

Рассмотрим несколько задач с параметрами, используя теорему Виета:

Пусть дано уравнение и . Если и - различные корни этого уравнения, то

;

Если уравнение имеет единственный корень , то теорема Виета остается верной, если положить .

Корни приведенного квадратного уравнения x² + px + q = 0 связаны с его коэффициентами формулами Виета

х₁ + х₂ = - p,

х₁х₂ = q.

В случае, если приведенное квадратное уравнение имеет действительные корни, формулы Виета позволяют судить как о знаках, так и об относительной величине корней квадратного уравнения, а именно:

Если q > 0, p > 0, то оба корня отрицательны;

Если q > 0, p < 0, то оба корня положительны;

Если q < 0, p > 0, то уравнение имеет корни разных знаков, причем отрицательный корень по абсолютной величине больше положительного корня;

Если q < 0, p < 0, то уравнение имеет корни разных знаков, причем отрицательный корень по абсолютной величине меньше положительного корня.

Пример 10. При каких значениях параметра а уравнение

х² + 2(а + 1) х +9а – 5 = 0 имеет два различных отрицательных корня?

Решение: Так как уравнение должно иметь два различных корня х₁ и х₂_,его дискриминант должен быть положительным. Имеем D = 4(a + 1)² – 4(9a – 5) = 4a² – 28a + 24 = 4(a – 1)(a – 6). Значит должно выполняться неравенство