История развития уравнений
Квадратные уравнения в Индии.
Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в
aх2 + bx = c, a>0 (1)
В уравнении (1) коэффициенты, кроме a, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.
В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические уравнения». Задачи часто облекались в стихотворную форму.
Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в.
Задача 13.
«Обезьянок резвых стая
Всласть поевши, развлекалась
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась.
А двенадцать по лианам
Стали прыгать, повисая
Сколько ж было обезьянок
Ты скажи мне, в этой стае?»
Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений. Соответствующее задаче 13 уравнение:
2 + 12 = x
Бхаскара пишет под видом x2 – 64x = -768 и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 322, получая затем:
x2 – 64x + 322 = -768 + 1024,
(x – 32)2 = 256,
х – 32 = + 16,
х1 = 16, х2 =48.
Квадратные уравнения у ал-Хорезми.
В алгебраическом трактате ал-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:
1) «Квадраты равны корням», т. е. ax2 = bx.
2) «Квадраты равны числу», т. е. ax2 = c.
3) «Корни равны числу», т. е. ax = c.
4) «Квадраты и числа равны корням», т. е. ax2 + c = bx.
5) «Квадраты и корни равны числу», т. е. ax2 + bx = c.
6) «Корни и числа равны квадратам», т. е. bx + c = ax2.
Формулы решения квадратных уравнений по ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в
x2 + bx = c,
при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, с было сформулировано в Европе лишь в
Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в ХII в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.
О теореме Виета.
Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в
Чтобы понять Виета, следует вспомнить, что А, как и всякая гласная буква, означала у него неизвестное (наше х), гласные же B, D – коэффициенты при неизвестном. На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает:
Если имеет место
(a + b)x – x2 = ab,
Т. е. x2 - (a –b)x + ab =0,
то x1 = a, x2 = b.
Выражая зависимость между корнями и коэффициентами уравнений общими формулами, записанными с помощью символов, Виет установил единообразие в приемах решения уравнений. Однако символика Виета еще далека от современного вида. Он не признавал отрицательных чисел и поэтому при решении уравнений рассматривал лишь случаи, когда все корни положительны.
