Линейные уравнения, содержащие параметр

- таков общий вид названного уравнения.

Его решение состоит из следующих частей:

1. Если , то - единственный корень уравнения.

2. Если , то могут быть случаи:

а) , уравнение решений не имеет;

б) , любое число является корнем уравнения.

Результатом решения служит ответ:

1) , - любое, ;

2) , , - любое число.


3.1.1. Примеры линейных уравнений с параметрами

Пример 1. Решить уравнение ax = 1.

Решение. На первый взгляд представляется возможным сразу дать ответ:

х = . Однако при а = 0 данное уравнение решений не имеет, и верный ответ выглядит так:

Ответ: Если а = 0, то решений нет; если а ≠ 0, то х = .


Пример 2. Решить уравнение (а2 – 1)х = а + 1.

Решение. Рассмотрим случаи:

1) а = 1, тогда уравнение принимает вид 0х = 2 и не имеет решений;

2) а = -1,получаем 0х = 0, очевидно х – любое;

3) а ≠ ± 1; имеем х = .

Ответ: Если а = - 1, то х – любое; если а = 1, то нет решений; если а ≠ ± 1, то х = .

Пример 3:

После преобразования получаем равносильное данному уравнение

.

  1. Если , т.е и , то

  1. Если , т.е или , то: 1) при , получается уравнение , которое корней не имеет; 2) при , получается уравнение , корнем которого является любое число.

Ответ: 1) и , ;

2) , нет корней;

3) , - любое число.

Пример 4:

После преобразования получаем равносильное данному уравнение:

.

  1. Если , то

  2. Если , т.е . , то нет корней

Ответ: Если , то ;

Если , т.е , то нет корней

Пример 5: (1)

После преобразования получаем равносильное данному уравнение:

, ,

  1. Если и , то получаем ;

  2. Если , то , следовательно уравнение (1) не имеет решения;

  3. Если , то получаем , т.е. , значит - любое;

Ответ: 1) и , ;

2) , нет корней;

3) , - любое.

Пример 6. Решить уравнение

2а•(а-2)•х = а-2. (2)

Решение.

Рассмотрим случаи:

1) При а=0 уравнение (2) принимает вид 0•х=2. Это уравнение не имеет корней.

2) При а=2 уравнение (2) принимает вид 0•х=0. Корнем этого уравнения является любое действительное число.

3) При а≠0, а≠2 уравнение соответствует третьему типу откуда х ==.

0твет: 1) если а=0, то корней нет;

2) если а=2, то х — любое действительное число;

3) если а≠0, а≠2 , то х = .

Пример 7:

Преобразуем данное уравнение: ;

;

;

  1. Если , т.е. , то ;

  2. Если , то ;

;

, нет корней.

Ответ: 1) , ;

2) , нет корней.

Hosted by uCoz