Дробно – рациональные уравнения, содержащие параметр

Так называется уравнение, которое содержит кроме многочленов еще и дробно-рациональные функции. В процессе решения его при помощи приведения к общему знаменателю оно заменяется целым алгебраическим уравнением. Целое уравнение по отношению к данному является следствием и может иметь посторонние корни. Отбор посторонних корней и выяснение условий, при которых корни уравнения-следствия являются корнями данного уравнения, представляют собой существенную часть решения дробно-рационального уравнения.

Алгоритм решения:

  1. Найти область допустимых значений уравнения.

  2. Решить целое рациональное уравнения.

  3. Найти те значения параметра, при которых найденные корни целого рационального уравнения являются посторонними.

  4. Сформулировать ответ.

Пример 1. Решить относительно х:

.

(1)

ОДЗ: (m-1)(x+3)= 0, то есть m = 1, x = –3.

Умножив обе части уравнения на (m-1)(x+3), получим уравнение

, получаем

.

Отсюда при m = 2,25 .

Теперь необходимо проверить, нет ли таких значений m, при которых найденное значение x равно –3.

,

решая это уравнение, получаем, что х равен –3 при т = –0,4.

Ответ: при т = 1, т = 2,25, т = –0,4 уравнение (1) имеет единственное решение ; при т = 2,25 и при т = –0,4 решений нет, при т = 1 уравнение (1) не имеет смысла.

Пример 2. Решить уравнение = а.

Решение. Очевидно, х ? 1. Приведем исходное уравнение к виду:

(1 – а)х = а, заметим, что при а = 1 уравнение не имеет корней, а при а ? 1 получаем х = . Проверим нет ли таких значений а, при которых найденное значение х равно – 1, т. е. нужно решить уравнение

- 1 = относительно а. Так как последнее уравнение не имеет корней, других вариантов, кроме рассмотренных выше, не имеется.

Ответ: 1) если а ? 1, то х = ;

2) если , то корней нет.

Пример 3.

Решение. Очевидно, x ? - 3, x ? 2, a ? - 1.

При условии, что х ? 2, исходное уравнение можно упростить:

.

Преобразуем и получим уравнение 2ах = 1 – а, которое при а = 0 не имеет корней, а при а ? 0 . Теперь проверим, нет ли таких значений параметра а, при которых найденное значение х было бы равно – 3 или 2. Для этого решим относительно а уравнения:

и . Корень первого уравнения - 0,2, корень второго уравнения 0,2; т. е. при а = ± 0,2 соответствующие значения х не входят в область определения исходного уравнения.

Ответ: 1) если ; ;, то корней нет;

2) если ; ; , то .


Hosted by uCoz